【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2Sn﹣1(n∈N*) (Ⅰ)求证:数列{an}为等比数列;
(Ⅱ)若bn=(2n+1)an , 求{bn}的前n项和Tn .
【答案】证明:(Ⅰ)∵数列{an}的前n项和为Sn , 且满足an=2Sn﹣1(n∈N*), 当n=1时,a1=2S1﹣1=2a1﹣1,解得a1=1,
当n≥2时,由an=2Sn﹣1,①,得an﹣1=2Sn﹣1﹣1,②,
①﹣②,得:an﹣an﹣1=2an , 整理,得an=﹣an﹣1 ,
∴{an}是首项为1,公比为﹣1的等比数列.
解:(Ⅱ)∵{an}是首项为1,公比为﹣1的等比数列,
∴ ,
∴bn=(2n+1)an=(2n+1)(﹣1)n﹣1 ,
∴{bn}的前n项和:
Tn=3(﹣1)0+5(﹣1)+7(﹣1)2+…+(2n+1)(﹣1)n﹣1 , ①
﹣Tn=3(﹣1)+5(﹣1)2+7(﹣1)3+…+(2n+1)(﹣1)n , ②
①﹣②,得:2Tn=3+2[(﹣1)+(﹣1)2+(﹣1)3+…+(﹣1)n﹣1]﹣(2n+1)(﹣1)n
=3+2× ﹣(2n﹣1)(﹣1)n
=(2n+2)(﹣1)n﹣1+2,
∴Tn=(n+1)(﹣1)n﹣1+1=1﹣(n+1)(﹣1)n
【解析】(Ⅰ)an=2Sn﹣1(n∈N*),推导出a1=1,an=﹣an﹣1 , 由此能证明{an}是首项为1,公比为﹣1的等比数列.(Ⅱ)由 ,得bn=(2n+1)an=(2n+1)(﹣1)n﹣1 , 由此利用错位相减法能求出{bn}的前n项和.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】已知向量 =(1,2),
=(cosα,sinα),设
=
﹣t
(t为实数).
(1)t=1 时,若 ∥
,求2cos2α﹣sin2α的值;
(2)若α= ,求|
|的最小值,并求出此时向量
在
方向上的投影.
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【题目】已知向量 =(sin
,sin
),
=(cos
,cos
),且向量
与向量
共线.
(1)求证:sin( ﹣
)=0;
(2)若记函数f(x)=sin( ﹣
),求函数f(x)的对称轴方程;
(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)的值;
(4)如果已知角0<A<B<π,且A+B+C=π,满足f( )=f(
)=
,求
的值.
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【题目】现阶段全国多地空气质量指数“爆表”.为探究车流量与浓度是否相关,现对北方某中心城市的车流量最大的地区进行检测,现采集到
月某天
个不同时段车流量与
浓度的数据,如下表:
车流量 | |||||||
|
(1)根据上表中的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程;
(2)规定当浓度平均值在
,空气质量等级为优;当
浓度平均值在
,空气质量等级为良;为使该城市空气质量为优和良,利用该回归方程,预测要将车流量控制在每小时多少万辆内(结果以万辆做单位,保留整数).
附:回归直线方程: ,其中
,
.
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【题目】将编号为1、2、3、4的四个小球随机的放入编号为1、2、3、4的四个纸箱中,每个纸箱有且只有一个小球,称此为一轮“放球”.设一轮“放球”后编号为的纸箱放入的小球编号为
,定义吻合度误差为
(1) 写出吻合度误差的可能值集合;
(2) 假设等可能地为1,2,3,4的各种排列,求吻合度误差
的分布列;
(3)某人连续进行了四轮“放球”,若都满足,试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮“放球”相互独立);
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【题目】某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨,生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是___________万元
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【题目】“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书),比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多,是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的,而且和其他国家相比,我国国民的阅读量如此之低,也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随机抽取了一天名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:
,
,
,
,
,
后得到如图所示的频率分布直方图.问:
(1)估计在40名读书者中年龄分布在的人数;
(2)求40名读书者年龄的平均数和中位数;
(3)若从年龄在的读书者中任取2名,求这两名读书者年龄在
的人数
的分布列及数学期望.
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【题目】某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
参加书法社团 | 未参加书法社团 | |
参加演讲社团 | 8 | 6 |
未参加演讲社团 | 6 | 30 |
(I)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(II)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3,现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
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