Question

如图，抛物线y=x²上有一点A（a，a²），a∈（0，1），过点A引抛物线的切线l分别交x轴与直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于点D．
（1）求切线l的方程；
（2）求图中阴影部分的面积S（a），并求a为何值时，S（a）有最小值？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用导数的运算法则可得y′，利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程；
（2）利用切线的方程即可得出点B，C的坐标，再利用微积分基本定理即可得出阴影部分的面积，再利用导数即可得出．
解答：解：（1）∵y=x²，∴y'=2x，
∴切线l的方程是y-a²=2a（x-a），即2ax-y-a²=0；
（2）由2ax-y-a²=0，令y=0，解得，∴B；
令x=1，解得y=2a-a²；
∴，|CD|=2a-a²，
∴．
∴=．
∴=．
令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴．
当时，S'（a）＜0；
当时，S'（a）＞0．
∴时，S（a）有最小值．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、微积分基本定理、导数的几何意义等是解题的关键．