Question

【题目】已知函数y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．

（1）当a＞0时，若f（x）满足：y极小值=1，y极大值=，试求f（x）的解析式；

（2）若x∈[0，1]时，y=f（x）图象上的任意一点处的切线斜率k满足：|k|≤1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=-x3+x2+1；（2）

【解析】

（1）由（x）=-3x2+2ax=0得x=0或x=,易求出函数取极值时x的值，然后根据函数f（x）的极小值和极大值分别为1、，构造关于a，b的方程，解方程后即可求出函数y＝f（x）的解析式；（2）根据导数的几何意义可知|k|=|f′（x）|≤1在x∈[0，1]恒成立，将a分离出来，使之恒成立即可求出a的范围．

（1）（x）=-3x2+2ax=0得x=0或x=．

a＞0时，x变化时f'（x），f（x）变化如下表：

所以f（0）=b=1，,解得a=1，b=1．故f（x）=-x3+x2+1；

（2）由题设x∈[0，1]时，恒有|k|=|f′（x）|≤1，

即-1≤-3x2+2ax≤1在x∈[0，1]上恒成立．

当x=0时，a∈R；

当x∈（0，1]时，由-3x2+2ax≥-1恒成立，即2ax≥3x2-1，

y=在（0，1]上为增函数

所以a≥1

另一方面，由-3x2+2ax≤1恒成立，所以（当且仅当x=时，取最值）．

综上所述：．