Question

【题目】如图,在四棱锥中, 平面,四边形为正方形,且, 为线段的中点.

（Ⅰ）求证: 平面;

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值;

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）；（III）.

【解析】试题分析：(I) 因为平面,所以,由正方形得,所以平面.(II) 以A为原点建立空间直角坐标系,通过计算直线的方向向量和平面的法向量求得线面角的正弦值.(III)利用(II)的坐标系,通过法向量计算二面角的余弦值,由此确定二面角的大小.

试题解析：

（Ⅰ）因为平面,所以,

因为四边形为正方形,所以

且,所以平面.

（Ⅱ）如图,以A为原点,AB、AD、AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,可设PA=1

则B（1,0,0）,P（0,0,1）,C（1,1,0）,D（0,1,0）,则,,

,所以平面PCD的法向量,所以

（Ⅲ）平面PAC的法向量为,所以,所以

二面角的大小为.