Question

15．求与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1有共同焦点，过点（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），代入点的坐标，即可求得结论

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上，
设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）-----------------------（2分）
根据题意$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}+{b}^{2}=25-5\\ \frac{18}{{a}^{2}}-\frac{2}{{b}^{2}}=1\end{array}\right.$，--------------------（6分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=20-2\sqrt{10}\\{b}^{2}=2\sqrt{10}\end{array}\right.$-----------------------（10分）
∴双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{20-2\sqrt{10}}-\frac{{y}^{2}}{2\sqrt{10}}=1$

点评 本题考查椭圆的性质，考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确运用待定系数法是关键．