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    已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
    AM
    =x
    AB
    ，
    AN
    =y
    AC
    ，则
    xy
    x+y
    的值（　　）
    分析：由G为三角形的重心得到
    AG
    =
    1
    3
    （
    AB
    +
    AC
    ），再结合
    AM
    =x
    AB
    ，
    AN
    =y
    AC
    ，我们根据M，G，N三点共线，易得到x，y的关系式，整理后即可得到
    xy
    x+y
    的值．
    解答：解：根据题意G为三角形的重心，
    AG
    =
    1
    3
    （
    AB
    +
    AC
    ），
    MG
    =
    AG
    -
    AM
    =
    1
    3
    （
    AB
    +
    AC
    ）-x
    AB
    =(
    1
    3
    -x)
    AB
    +
    1
    3
    AC
    ，
    GN
    =
    AN
    -
    AG
    =y
    AC
    -
    AG

    =y
    AC
    -
    1
    3
    (
    AB
    +
    AC
    )
    =(y-
    1
    3
    )
    AC
    -
    1
    3
    AB
    ，
    由于
    MG
    与
    GN
    共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得
    MG
    =λ
    GN
    ，
    即(
    1
    3
    -x)
    AB
    +
    1
    3
    AC
    =λ[(y-
    1
    3
    )
    AC
    -
    1
    3
    AB
    ]    ，
    即
    1
    3
    -x=-
    1
    3
    λ
    1
    3
    =λ(y-
    1
    3
    )

    ∴
    1
    3
    -x
    -
    1
    3
    =
    1
    3
    y-
    1
    3

    即x+y-3xy=0
    ∴x+y=3xy即
    xy
    x+y
    =
    1
    3

    故选B．
    点评：本题主要考查了三角形重心的性质，以及向量数乘的运算及其几何意义和向量在几何中的应用，属于中档题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x轴上有一点M，满足|
    MA
    |=|
    MC
    |    ，
    GM
    =λ
    AB
    (λ∈R)    （若△ABC的顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则该三角形的重心坐标为G(
    x1+x2+x3
    3
    ，
    y1+y2+y3
    3
    )    ）．
    （1）求点C的轨迹E的方程．
    （2）设（1）中曲线E的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l交曲线E于P、Q两点，求△F1PQ面积的最大值，并求出取最大值时直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点G是△ABC的重心，
    AG
    =λ
    AB
    +μ
    AC
    (λ，μ∈R)    ，那么λ+μ=
     
    ；若∠A=120°，
    AB
    •
    AC
    =-2    ，则|
    AG
    |    的最小值是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若
    AP
    =λ
    AB
    +μ
    AC
    ，则λ+μ    的取值范围是（　　）
    A、(
    1
    2
    ，1)
    B、(
    2
    3
    ，1)
    C、(1，
    3
    2
    )
    D、（1，2）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （文）已知奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当x∈（0，1）时，函数f（x）=3x-1，则f(log
    1
    3
    36)    =
     

    （理）已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若
    OA
    +
    OB
    +
    OC
    =λ
    OG
    ，则λ的值是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列六个命题：
    ①sin1＜3sin
    1
    3
    ＜5sin
    1
    5

    ②若f'（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；
    ③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定是：“?x∈R，均有ex≥0”；
    ④已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
    AM
    =x
    AB
    ，
    AN
    =y
    AC
    ，则
    1
    x
    +
    1
    y
    =3    ；
    ⑤已知a=
    ∫
    π
    0
    sinxdx，    点(
    		3
    ，a)    到直线
    		3
    x-y+1=0    的距离为1；
    ⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a，对任意的实数x恒成立，则实数a≤-1，或a≥4；
    其中真命题是
    ①③④⑤
    ①③④⑤
    （把你认为真命题序号都填在横线上）

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