Question

（2013•济宁二模）如图：C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2

3

，AC=BC，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD内的射影E落在BD上．
（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求三棱锥C-ABD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面ACD⊥平面BCD，只要证平面ACD经过平面BCD的一条垂线AD即可，由D是以AB为直径的圆上的点得到AD⊥DB，由CE垂直于底面得到EC垂直于AD，利用线面垂直的判定得到证明；
（Ⅱ）要求三棱锥C-ABD的体积，关键在于求高CE，通过证明三角形DCB为直角三角形，然后利用三角形BCD的面积相等求CE，则三棱锥C-ABD的体积可求．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
∵D是以AB为直径的圆上的点，∴AD⊥DB．
∵CE⊥平面ABD，AD?平面ABD，
∴AD⊥CE．
又∵CE∩BD=E，BD?平面BCD，
∴AD⊥平面BCD．
∵AD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知AD⊥平面BCD，又CD?平面BCD，∴AD⊥CD．
∵C是以AB为直径的圆上的点，∴AC⊥CB，又AC=BC，∴△ACB为等腰直角三角形．
∵AB=2

3

，∴AC=BC=

6

．
在Rt△ADC中，AD=

3

，AC=

6

，∴CD=

AC2-AD2

=

6-3

=

3

．
在Rt△ADB中，AD=

3

，AB=2

3

，∴BD=

AB2-AD2

=

12-3

=3．
∴CD²+BC²=BD²，∴BC⊥CD．
在Rt△BCD中，BD⊥CE，CE=

BC•CD

BD

=

6 • 3

3

=

2

．
∴VC-ABD=

1

3

•

1

2

AD•BD•CE=

1

3

•

1

2

•

3

•3•

2

=

6

2

．
∴三棱锥C-ABD的体积为

6

2

．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了棱锥体积的求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是明确折叠问题中的折叠前后的变量和不变量，是中档题．