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已知函数f(x)=
1-x
ax
+lnx(x>0).
(1)当a=1时,求f(x)在[
1
2
,2]上的最小值;
(2)若函数f(x)在[
1
2
,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;
(3)若关于x的方程1-x+2xlnx-2mx=0在区间[
1
e
,e]内恰有两个相异的实根,求实数m的取值范围.
分析:(1)当a=1时,可求得f(x)、f′(x),由f′(x)=0,得x=1,求出函数的极值、端点处函数值,然后进行比较即可;
(2)利用导数求出f(x)的增区间,由题意可知[
1
2
,+∞)为增区间的子集,由此可得a的范围;
(3)方程可变为
1-x
2x
+lnx=m
,则问题等价于函数g(x)=
1-x
2x
+lnx
的图象与函数y=m的图象在区间[
1
e
,e]内恰有两个交点.利用导数研究函数g(x)的性质、极值、端点处函数值,画出草图,借助图象可得m的范围;
解答:解:(1)当a=1时,f(x)=
1
x
+lnx-1
f′(x)=
1
x
-
1
x2
=
x-1
x2

令f′(x)=0,得x=1,
于是,当
1
2
<x<1时,f′(x)<0,当1<x<2时,f′(x)>0,
所以当x=1时f(x)取得极小值,且f(1)=0,
又f(
1
2
)=1-ln2,f(2)=ln2-
1
2

所以当x=1时函数f(x)取得最小值0.
(2)f′(x)=
1
x
-
1
ax2
=
ax-1
ax2

因为a为正实数,由定义域知x>0,
所以函数的单调递增区间为[
1
a
,+∞)

又函数f(x)在[
1
2
,+∞)
上为增函数,所以0<
1
a
1
2

所以a≥2;
(3)方程1-x+x2lnx-2mx=0在区间[
1
e
,e]内恰有两个相异的实数根,
推得方程
1-x
2x
+lnx-m=0
在区间[
1
e
,e]内恰有两个相异的实数根,即方程
1-x
2x
+lnx=m
在区间[
1
e
,e]内恰有两个相异的实数根,
则函数g(x)=
1-x
2x
+lnx
的图象与函数y=m的图象在区间[
1
e
,e]内恰有两个交点.
考察函数g(x)=
1-x
2x
+lnx
g′(x)=-
1
2x2
+
1
x
=
2x-1
2x2
,则g(x)在区间[
1
e
1
2
]
为减函数,在[
1
2
,e]
为增函数,
则有:g(e)=
1-e
2e
+lne=
1-e
2e
+1=
1+e
2e
>0

g(
1
2
)=
1-
1
2
1
2
+ln
1
2
=
1
2
-ln2<0

g(
1
e
)=
1-
1
e
1
e
+ln
1
e
=
e-1
2
-1=
e-3
2
<0<g(e),
画函数g(x)=
1-x
2x
+lnx
,x∈[
1
e
,e]的草图,要使函数g(x)=
1-x
2x
+lnx
的图象与函数y=m的图象在区间[
1
e
,e]内恰有两个交点,
则要满足g(
1
2
)<m≤g(
1
e
)

所以m的取值范围为{m|
1
2
-ln2<m≤
e-3
2
}.
点评:本题考查利用导数研究函数的最值、函数的单调性及函数的零点问题,考查函数思想、数形结合思想、转化思想.
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已知函数f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),则实数x的取值范围是(  )
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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1,x∈Q
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1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)当a=1时,求证对任意大于1的正整数n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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π
6
),其中x∈R,则下列结论中正确的是(  )

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