Question

已知圆x²+y²=4与y轴的两个交点分别为A，B，以A，B为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左方的交点分别为C，D，当梯形ABCD 的周长最大时，求此双曲线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：计算题,函数的性质及应用,三角函数的求值,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，设D（-2cosa，-2sina），C（-2cosa，2sina），a∈（0，

π

2

），A（0，-2），B（0，2），表示出CD=4sina，AB=4，AD=BC=

4(cosa)2+(2sina-2)2

=2

2

1-sina

=2

2

[cos（

a

2

）-sin（

a

2

）]=4cos（

a

2

+

π

4

），通过三角函数化简可得周长=4+4[1-2cos²（

a

2

+

π

4

）]+8cos（

a

2

+

π

4

）=-8cos²（

a

2

+

π

4

）+8cos（

a

2

+

π

4

）+8，从而利用二次函数的最值求得a=

π

6

时梯形ABCD 的周长最大，从而确定点C、D；进而求出a，b；从而求此双曲线的方程．

解答： 解：由题意，设D（-2cosa，-2sina），C（-2cosa，2sina），a∈（0，

π

2

），A（0，-2），B（0，2），
则CD=4sina，AB=4，
AD=BC=

4(cosa)2+(2sina-2)2

=2

2

1-sina

=2

2

[cos（

a

2

）-sin（

a

2

）]=4cos（

a

2

+

π

4

），
则周长=AB+CD+2BC=4+4sina+8cos（

a

2

+

π

4

），
又由sina=-cos（a+

π

2

）=1-2cos²（

a

2

+

π

4

），
则周长=4+4[1-2cos²（

a

2

+

π

4

）]+8cos（

a

2

+

π

4

）
=-8cos²（

a

2

+

π

4

）+8cos（

a

2

+

π

4

）+8，
则cos（

a

2

+

π

4

）=-

8

-2×8

=

1

2

，即a=

π

6

时，
梯形ABCD 的周长最大，
此时，点D（-

3

，-1），
DA=

3+1

=2，DB=

3+9

=2

3

，
则a=

2 3 -2

2

=

3

-1，
a²=4-2

3

，则b²=c²-a²=2

3

，
则所求双曲线的方程为：

y2

4-2 3

-

x2

2 3

=1．

点评：本题考查了双曲线的定义及两点间的距离公式等，重点考查了三角恒等变换及最值，属于中档题．