Question

【题目】已知数列的首项为，前项和为与之间满足 ，

（Ⅰ）求证：数列是等差数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）设存在正整数，使对一切都成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ） （Ⅲ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）数列{an}的前n项和Sn与an之间满足an= ，化为 ，即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， 所以 ，n≥2时，an=Sn-Sn-1；n=1时，a1=1．可得数列的通项公式；（Ⅲ）原不等式等价于对一切都成立，即，令，于是， ，即，所以在上单调递增，故，即可解得正整数的最大值.

试题解析：

（Ⅰ）因为 ，

故，

所以，

由题， ，两边同时除以，得，

故 ，

故数列是公差为的等差数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，

所以 ，

，

又，不满足上式，

故.

（Ⅲ）原不等式等价于对一切都成立，

即，

令，

于是， ，即，

所以在上单调递增，故,

因为为正整数，所以的最大值为.