Question

8．在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cost\\ y=-1+\sqrt{2}sint\end{array}\right.$，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，A，B两点的极坐标为$（{1，\frac{π}{2}}），（{1，π}）$．
（1）求圆C的普通方程和直线L的直角坐标方程；
（2）点P是圆C上任意一点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数关系式，消去t可得圆C的普通方程，利用余弦的两角和与差打开，x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直线L的直角坐标方程；
（2）将A，B两点的极坐标化为直角坐标．求出AB的距离，利用参数坐标设出点P．可得△PAB面积的关系式，求最大值即可．

解答 解：（1）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cost\\ y=-1+\sqrt{2}sint\end{array}\right.$，（t为参数），可得：$\left\{\begin{array}{l}{x-1=\sqrt{2}cost}\\{1+y=\sqrt{2}sint}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}=2co{s}^{2}t}\\{（y+1）^{2}=2si{n}^{2}t}\end{array}\right.$
可得：（x-1）²+（y+1）²=2，
即圆C的普通方程为：（x-1）²+（y+1）²=2，
直线l的极坐标方程为$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
可得：$ρcosθ×cos\frac{π}{4}-ρsinθ×sin\frac{π}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ-\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}=0$
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得：x-y+1=0．
∴直线L的直角坐标方程为x-y+1=0．
（2）A，B两点的极坐标为$（{1，\frac{π}{2}}），（{1，π}）$．
化简直角坐标为A（0，1），B（-1，0），可得A，B在直线直线l上．|AB|=$\sqrt{2}$．
点P是圆C上，设P（1$+\sqrt{2}cost$，$-1+\sqrt{2}sint$），
则P到直线l的距离d=$\frac{|1+\sqrt{2}cost+1-\sqrt{2}sint+1|}{\sqrt{2}}=\frac{|3+2cos（t+\frac{π}{4}）|}{\sqrt{2}}$
∴${d}_{max}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∴△PAB面积的最大值为：$S=\frac{1}{2}|AB|×{d}_{max}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程，极坐标化为直角坐标的问题．点到直线的距离公式求最值问题．属于中档题．