Question

如图，ABCD是圆的内接四边形，AB∥CD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，
证明：
（Ⅰ）∠DBC=∠AEC；
（Ⅱ）BC²=BE•CD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据圆的内接四边形的对角互补可得∠CAE=∠BDC，根据弦切角等于弧所对的圆周角得到∠ACE=∠ABC，以及内错角相等可得∠DCB=∠ABC，从而得到△BDC相似于△EAC，从而得到结论；
（II）由（I）可得到∠BCE=∠BDC，而∠EBC=∠BCD，则△BDC∽△ECB，从而证得结论．

解答：解（I）∵ABCD是圆的内接四边形，
∴∠CAE=∠BDC，
又∵EC与圆相切于点C，
∴∠ACE=∠ABC．
∵AB∥CD，所以∠DCB=∠ABC，
∴∠ACE=∠DCB，
故∠DBC=∠AEC----------（5分）
（II）∵∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC=∠CAE，
∴∠BCE=∠BDC．
又∵∠EBC=∠BCD，
∴△BDC∽△ECB，
即BC²=BE•CD

点评：本题主要考查了圆的内接四边形的性质，以及三角形相似，同时考查了分析问题的能力．