Question

已知函数f（x）=

(1-a2)x2+3(1-a)x+6

．
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若f（x）的定义域为R，则（1-a²）x²+3（1-a）x+6≥0恒成立，分1-a²=0和1-a²≠0，结合一次函数和二次函数的图象和性质分别求出满足条件的a的取值范围，综合讨论结果可得答案．
（2）若若f（x）的值域为[0，+∞），则函数 g（x）=（1-a²）x²+3（1-a）x+6取一切非负实数，结合一次函数和二次函数的图象和性质分类讨论后，综合讨论结果可得答案．

解答：解：（1）①若1-a²=0，则a=±1．
（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

6

，定义域为R，符合要求．
（Ⅱ）当a=-1时，f(x)=

6x+6

，定义域不为R．
②若1-a²≠0，g（x）=（1-a²）x²+3（1-a）x+6为二次函数，
∵f（x）定义域为R，
∴g（x）≥0对任意x∈R恒成立．
∴

1-a2＞0 △=9(1-a)2-24(1-a2)≤0

?

-1＜a＜1 (a-1)(11a+5)≤0

⇒-

5

11

≤a＜1．
综合①②得，实数a的取值范围是[-

5

11

，1]
（2）∵f（x）的值域为[0，+∞），
∴函数 g（x）=（1-a²）x²+3（1-a）x+6取一切非负实数．
∴

1-a2＞0 △=9(1-a)2-24(1-a2)≥0

?

-1＜a＜1 (a-1)(11a+5)≥0

⇒-1＜a≤-

5

11

．
当a=-1时，f(x)=

6x+6

的值域是[0，+∞），符合题意．
故所求实数a的取值范围是[-1，-

5

11

]．

点评：本题考查的知识点是函数的定义域，函数的值域，转化思想，熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质是解答的关键．