Question

如图所示，在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a，∠ABC=θ
（1）求△ABC的面积f（θ）与正方形面积g（θ）；
（2）当θ变化时，求

f(θ)

g(θ)

的最小值．

Answer 1

分析：（1）设正方形边长为x，求出BG=

x

sinθ

，AC=atanθ，x，即可求出三角形ABC的面积f（θ）与正方形面积g（θ）；
（2）利用（1）推出

f(θ)

g(θ)

的表达式，利用基本不等式，求出比值的最小值即可．

解答：解：（1）由题得：AC=atanθ
∴f（θ）=

1

2

a²tanθ（0＜θ＜

π

2

） 
设正方形的边长为x，则BG=

x

sinθ

，由几何关系知：∠AGD=θ
∴AG=xcosθ 由BG+AG=a⇒

x

sinθ

+xcosθ=a⇒x=

asinθ

1+sinθcosθ

∴g（θ）=

a2sin2θ

(1+sinθcosθ)2

（0＜θ＜

π

2

）
（2）

f(θ)

g(θ)

=

(1+sinθcoθ)2

2sinθcosθ

=1+

1

sin2θ

+

sin2θ

4

 令：t=sin2θ
∵0＜θ＜

π

2

∴t∈（0，1]∴y=1+

1

t

+

t

4

=1+

1

4

（t+

t

4

）∵函数y=1+

1

4

（t+

t

4

）在（0，1]递减
∴y_min=

9

4

（当且仅当t=1即θ=

π

4

时成立）
∴当θ=

π

4

时，

f(θ)

g(θ)

的最小值为

9

4

．

点评：本题主要考查三角函数的基本关系式，基本不等式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．