Question

（2012•深圳二模）已知二次函数f（x）的最小值为-4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=

f(x)

x

-4lnx的零点个数．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}，设出函数解析式，利用函数f（x）的最小值为-4，可求函数f（x）的解析式；
（2）求导数，确定函数的单调性，可得当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）=-4＜0，g（e⁵）=e5-

3

e5

-20-2＞2⁵-1-22=9＞0，由此可得结论．

解答：解：（1）∵f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}，
∴f（x）=a（x+1）（x-3）=a[（x-1）²-4]（a＞0）
∴f（x）_min=-4a=-4
∴a=1
故函数f（x）的解析式为f（x）=x²-2x-3
（2）g（x）=

f(x)

x

-4lnx=x-

3

x

-4lnx-2（x＞0），
∴g′（x）=

(x-1)(x-3)

x2

x，g′（x），g（x）的取值变化情况如下：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	单调增加	极大值	单调减少	极小值	单调增加

当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）=-4＜0；
又g（e⁵）=e5-

3

e5

-20-2＞2⁵-1-22=9＞0
故函数g（x）只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)

点评：本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，函数零点的概念，导数运算法则、用导数研究函数图象的意识、考查数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力．