Question

已知数列满足, ，．
（1）求证：是等比数列；
（2）求证：是等比数列并求数列的通项公式；
（3）设，且对于恒成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）由a_n＋1＝a_n＋6a_n－1，a_n＋1＋2a_n＝3(a_n＋2a_n－1) (n≥2)，∵a₁＝5，a₂＝5，∴a₂＋2a₁＝15
故数列{a_n＋1＋2a_n}是以15为首项，3为公比的等比数列    …………5分
（2）由（1）得a_n＋1＋2a_n＝5·3ⁿ ，∴ (a_n＋1－3^n＋1)＝－2(a_n－3ⁿ)，
故数列是以2为首项，-2为公比的等比数列，∴ a_n－3ⁿ＝2(－2)^n－1 ，
即a_n＝3ⁿ＋2(－2)^n－1＝3ⁿ－(－2)ⁿ             ………9分
（3）由3ⁿb_n＝n(3ⁿ－a_n)＝n[3ⁿ－3ⁿ＋(－2)ⁿ]＝n(－2)ⁿ，∴b_n＝n(－)ⁿ
令S_n＝|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＝＋2()²＋3()³＋…＋n()ⁿ
　　 S_n＝()²＋2()³＋…＋(n－1)( )ⁿ＋n()^n＋1        …………11分
得S_n＝＋()²＋()³＋…＋()ⁿ－n()ⁿ⁺¹＝2[1－()ⁿ]－n()ⁿ⁺¹
∴ S_n＝6[1－()ⁿ]－3n()ⁿ⁺¹＜6，要使得|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＜m对于n∈N^＊恒成立，
只须m≥6

略