Question

已知双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上、下顶点分别为A、B，一个焦点为F（0，c）（c＞0），两准线间的距离为1，
|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，过F的直线交双曲线上支于M、N两点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设

MF

=λ

FN

，问在y轴上是否存在定点P，使

AB

⊥(

PM

-λ

PN

)？若存在，求出所有这样的定点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）依题意可分别表示出|AF|，AB和BF|，进而利用三者成等差数列建立等式求得a和c的关系，进而利用准线之间的距离求得a和c的另一关系式联立求得a和c，则b可求，进而求得双曲线的方程．
（Ⅱ）设出直线MN的方程，先看斜率为0时与双曲线的方程联立可求得M和N的坐标，求得λ进而可求得

AB

，进而利用

PM

和

PN

求得

AB

•(

PM

-λ

PN

)=0，推断出y轴上所有的点都满足条件；再看斜率不为0时，直线方程与双曲线的方程联立，利用判别式大于0求得k的范围，分别表示出

MF

，

FN

，

PM

和

PN

，进而表示出λ，然后表示出

AB

和(

PM

-λ

PN

)利用二者的乘积为0求得关系式，把λ的表达式代入，整理求得m，即P的坐标，推断出当MN不与x轴平行时，满足条件的定点P的坐标为（0，

1

2

）．

解答：解：（I）由已知|AF|=c-a，|AB|=2a，|BF|=c+a，
∴4a=（c-a）+（c+a），即c=2a．
又∵

2a2

c

=1，于是可解得a=1，c=2，b²=c²-a²=3．
∴双曲线方程为y2-

x2

3

=1．
（II）设直线MN的方程为y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，m）．
①当k=0时，MN的方程为y=2，
于是由

y=2 y2- x2 3 =1

可解得M（-3，2），N（3，2），于是λ=1．
∵A（0，1），B（0，-1），∴

AB

=(0，   -2)．
∵

PM

=(-3，  2-m)，

PN

=(3，  2-m)，
∴

PM

-λ

PN

=(-6，  0)
由-6×0+（-2）×0=0，知

AB

•(

PM

-λ

PN

)=0，
即对m∈R，

AB

⊥(

PM

-λ

PN

)恒成立，
∴此时y轴上所有的点都满足条件．
②当k≠0时，MN的方程可整理为x=

y-2

k

．
于是由

x= y-2 k y2- x2 3 =1

消去x，并整理得（1-3k²）y²-4y+3k²+4=0．
∵△=（-4）²-4（1-3k²）（3k²+4）=9k⁴+9k²＞0，
y1+y2=

4

1-3k2

＞0，y1y2=

3k2+4

1-3k2

＞0，
∴k2＜

1

3

．
∵

MF

=（-x₁，2-y₁），

FN

=（-x₂，y₂-m），

PM

=（x₁，y₁-m），

PN

=（x₂，y₂-m），
∴-x₁=λx₂，2-y₁=λ（y₂-2），
∴λ=

2-y1

y2-2

．
又∵

AB

=(0，  -2)，

PM

-λ

PN

=(x1-λx2，y1-m-λ(y2-m))，
∴0•（x₁-λx₂）+（-2）[y₁-m-λ（y₂-m）]=0，
把λ=

2-y1

y2-2

代入得y1-m-

2-y1

y2-2

(y2-m)=0，
整理得2y₁y₂-（2+m）（y₁+y₂）+4m=0，
代入得

2(3k2+4)

1-3k2

-

4(2+m)

1-3k2

+4m=0，化简得6k²-12mk²=0，
∵k≠0，∴m=

1

2

．
即P（0，

1

2

）．
∴当MN与x轴平行时，y轴上所有的点都满足条件；
当MN不与x轴平行时，满足条件的定点P的坐标为（0，

1

2

）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．