Question

设，.
（1）请写出的表达式（不需证明）；
（2）求的极小值；
（3）设的最大值为，的最小值为，求的最小值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析： （1）依次求出,,,
由此便可猜测出的表达式.
（2）要求的极小值，先求出，
由，可得的单调区间和极值.
（3）配方法可以求出.
由（2）得：，所以.
问题转化为求的最小值.这又有两种方法：
法一、构造函数，通过求导来求它的最小值；法二、通过研究这个数列的单调性来求它的最小值.
试题解析：（1）根据,,,
猜测出的表达式.      4分
（2）求导得：，
因为时,；当时，.
所以，当时，取得极小值，
即.                       8分
（3）将配方得，
所以.
又因为，所以，10分
问题转化为求的最小值.
解法1（构造函数）：
令，
则，又在区间上单调递增，
所以．
又因为，，
所以存在使得．
又有在区间上单调递增，所以时，；
当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以．
又由于，，，
所以当时，取得最小值．
解法2（利用数列的单调性）：
因为，
当时，，
所以，所以.
又因为，.
所以当时，取得最小值.14分