Question

如图，四棱锥A-BCDE中，侧面△ADE是等边三角形，在底面等腰梯形BCDE中，CD∥BE，DE=2，CD=4，∠CDE=60°，M为DE的中点，F为AC的中点，AC=4．
（I）求证：平面ADE⊥平面BCD；
（II）FB∥平面ADE．

Answer 1

分析：（I）由△ADE是边长为2的等边三角形，可求出AM，利用余弦定理解△DMC，可求出MC，进而由勾股定理可得AM⊥MC，进而结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可得平面ADE⊥平面BCD；
（II）取DC的中点N，连接FN，NB，由线面平行判定定理可分别证明出FN∥平面ADE和BN∥平面ADE，进而由面面平行的判定定理可得平面ADE∥平面FNB，再由面面平行的性质得到FB∥平面ADE．

解答：证明：（Ⅰ）∵△ADE是等边三角形，DE=2，M是DE的中点，
∴AM⊥DE，AM=

3

．…（2分）
∵在△DMC中DM=1，∠CDM=60°，CD=4，…（3分）
∴MC²=4²+1²-2×4×1•cos60°=13，
∴MC=

13

．
在△AMC中，AM²+MC²=（

3

）²+（

13

）²=4²=AC²，…（4分）
∴△AMC是直角三角形．
∴AM⊥MC．
又∵AM⊥DE，MC∩DE=M，MC，DE?平面BCD
∴AM⊥平面BCD．
又∵AM?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCD．…（6分）
（Ⅱ）取DC的中点N，连接FN，NB．
∵AC=DC，F，N点分别是AC，DC的中点，
∴FN∥AD．
又FN?平面ADE，AD?平面ADE，
∴FN∥平面ADE．…（8分）
∵点N是DC的中点，
∴BC=NC，
又∠BCN=60°，
∴△BCN是等边三角形，
∴BN∥DE．
又BN?平面ADE，ED?平面ADE，
∴BN∥平面ADE．
∵FN∩BN=N，
∴平面ADE∥平面FNB．
∵FB?平面FNB，
∴FB∥平面ADE．…（12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质及几何特征是解答的关键．