Question

如图，在五面体P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，PB=

15

，PD=

3

．
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P-BC-A的大小．

Answer 1

分析：（1）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．本小问利用勾股定理的逆定理可证得AD⊥BD，PD⊥BD，从而证出BD⊥平面PAD；
（2）作PE⊥AD于E，证出∠PDE是PD与底面BCD所成的角，再作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PEF中，求∠PFE．

解答：解  （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，
得BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos60°=4+16-2×2×4×

1

2

=12．
∴AB²=AD²+BD²，∴△ABD是直角三角形，
∠ADB=90°，即AD⊥BD．
在△PDB中，PD=

3

，PB=

15

，BD=

12

，
∴PB²=PD²+BD²，故得PD⊥BD．
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD．
（2）∵BD⊥平面PAD，BD?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
作PE⊥AD于E，又PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，
∴∠PDE是PD与底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，
∴PE=PDsin60°=

3

•

3

2

=

3

2

作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P-BC-A的平面角．
又EF=BD=

12

，∴在Rt△PEF中，
tan∠PFE=

PE

EF

=

3 2

2 3

=

3

4

．
故二面角P-BC-A的大小为arctan

3

4

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力