Question

在数列{a_n}中，如果存在常数T（T∈N₊），使得a_n+T=a_n对于任意正整数均成立，那么就称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期．已知周期数列{a_n}满足x_n+2=|x_n+1-x_n|（n∈N^*），若x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），当数列{x_n}的周期为3时，则数列{x_n}的前2015项的和S₂₀₁₅为（　　）

• A、1344
• B、1343
• C、1342
• D、1341

Answer 1

分析：依题意可求得a=1，于是可求得x₁+x₂+x₃=2，x₄+x₅+x₆=2，…x₂₀₁₁+x₂₀₁₂+x₂₀₁₃=2，x₂₀₁₄=x₁，x₂₀₁₅=x₂，于是可得S₂₀₁₅的值．

解答：解：∵x₁=1，x₂=a（a≤1，a≠0），x_n+2=|x_n+1-x_n|，
∴x₃=|a-1|，又数列{x_n}的周期为3，
∴x₄=|x₃-x₂|=||a-1|-a|=x₁=1，
解得：a=1或a=0，
∵a≠0，
∴a=1，
∴x₁=1，x₂=1，x₃=0；
即x₁+x₂+x₃=2；
同理可得，x₄=1，x₅=1，x₆=0，
x₄+x₅+x₆=2；
…
x₂₀₁₁+x₂₀₁₂+x₂₀₁₃=2；
又x₂₀₁₄=x₁=1，x₂₀₁₅=x₂=1，2015=671×3+2，
∴S₂₀₁₅=x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₅
=671×（1+1+0）+2
=1344．
故选：A．

点评：本题考查数列的求和，着重考查函数的周期性，得到相邻三项之和为2是关键，属于中档题．