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已知函数f(x)=x3-3tx+m(x∈R,m和t为实数)是奇函数.

(Ⅰ)求实数m的值和函数f(x)的图像与横轴的交点坐标;

(Ⅱ)设g(x)=|f(x)|且x∈[-1,1],求g(x)的最大值F(t).

:(1)依题意,m=0,

∴f(x)=x3-3tx.  令x3-3tx=0,

(1)当t=0时,x=0.

∴函数f(x)的图像与横轴的交点坐标为(0,0).

(2)当t>0时,x(x-3t)=0. ∴x=0,或x2=3t,

∴x=0,或x=,或x=

∴函数f(x)的图像与横轴的交点坐标为(0,0),或(t,0),或(,0).

(3)当t<0时,x(x-3t)=0. ∴x=0,或x2=3t(舍去).

∴函数f(x)的图像与横轴的交点坐标为(0,0).

(Ⅱ)g(x)=|f(x)|=|x3-3tx|,x∈[-1,1];

(1)当t=0时,g(x)=|x3|,x∈[-1,1];

F(t)=g(1)=g(-1)=1.

(2)当t<0时,F(t)=|f(l)=|1-3t|=1-3t.

(3)当t≥1时,F (t)=|f(1)=|1-3t|=3t-1.

(4)当0<t<1时,

x

0

(0,)

(,1)

1

f′(x)

 

-

0

+

 

f(x)

0

极小值-2t

1-3t

由g(x)的性质可知,

≤t<1时,g(x)的最大值F(t)=-f()=2t

当0<t<时,g(x)的最大值F(t)=f(1)=1-3t.

综上所述:F(t)=


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(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
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4c2
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已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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D.f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则f(x)+g(x)可以是奇函数或偶函数

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