Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，且AB=AD=1，
BC=3，SB与平面ABCD所成的角为45°，E为SD的中点．
（Ⅰ）若F为线段BC上的一点且BF=

1

6

BC，求证：EF∥平面SAB；
（Ⅱ）求点B到平面SDC的距离；
（Ⅲ）在线段 BC上是否存在一点G，使二面角G-SD-C的大小为arccos

6

3

？若存在，求出BG的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取SA的中点H，连接EH，BH，根据HE∥AD，BF∥AD，且HE=

1

2

AD，BF=

1

2

AD可得四边形EFBH为平行四边形，则EF∥BH，BH?平面SAB，EF?平面SAB，根据线面平行的判定定理可知EF∥平面SAB．
（Ⅱ）求出面SDC的一个法向量，求点B到面SDC的距离实际上是求向量

BC

在面SDC的法向量上的投影的长度．
（Ⅲ）假设存在点G（1，a，0）分别求出GSD面与面CSD的法向量，根据两法向量的夹角与二面角G-SD-C的大小相等或互补的关系，列出关于a的方程，有解且0＜a＜3则存在，否则不存在．

解答：解：（Ⅰ）   取SA的中点H，连接EH，BH．
由HE∥AD，BF∥AD，且HE=

1

2

AD，BF=

1

2

AD
∴HE∥BF，BF=HE，∴四边形EFBH为平行四边形．
∴EF∥BH，BH?平面SAB，EF?平面SAB，
∴EF∥平面SAB．
 
  （Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD∴∠SBA是AB与平面ABCD所成的角∴∠SBA=45°SA=AB=1                                     
 以A为原点，AB为x轴，图所示建立直角坐标系，

则B（1，0，0），S（0，0，1），D（0，1，0）C（1，3，0）
∴

DC

=（1，2，0）

DS

=（0．-1.1）

BC

=（0，3，0）
设

n1

=（x₁，y₁，z_1）是平SDC的法向量，则  

DC

•

n1=

 0，    

DS

 •

n1

=0
∴

x1+2y1=0 -y1+z1=0

∴

x1=-2y1 y1=z1

取

n1

=(-2，1，1)B到平SDC的距离为d=|

BC • n1

| n1 |

|=

6

2

（Ⅲ） 假设存在，设BG=a，则G（1，a，0）（0＜a＜3）∴

DG

=(1，a-1，0)
设

n2

=（x₂，y₂，z_2）是平面DGS的法向量，则

DG

•

n2=0，

     

DS

• n2

=0
∴

x2+(a-1)y2=0 -y2+z2=0

取

n2

=(1-a，1，1)
由cos(arccos

6

3

)=|

n1 • n2

|n1| • |n2 |

|，得a²=2+（1-a）²
∴a=

3

2

，故线段 BC上存在一点G存在G点满足要求．且BG=

3

2

点评：本题考直线和平面平行的判定，用向量法求点到平面的距离，二面角，考查学生计算能力，逻辑思维能力，方程思想，是中档题．