Question

已知定义域为R的函数f（x）对任意的实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：对任意的x∈R都有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）在R上为减函数；
（4）当f（4）=

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时，解不等式f（x-3）•f（5-x²）＜

1

4

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,其他不等式的解法

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）令a=b=0，求得f（0）=0或1．检验f（0）=0不成立；
（2）可令a=b=

x

2

，则f（x）=f²（

x

2

）≥0，检验f（x）=0不成立；
（3）运用单调性的定义，结合条件x＜0时，f（x）＞1恒成立，即可得证；
（4）求出f（2）=

1

4

，化简不等式，结合单调性，即可得到解集．

解答： （1）解：由于f（a+b）=f（a）•f（b），则f（0）=f²（0），
即有f（0）=0或1．
若f（0）=0，则令a=x，b=0，有f（x）=0不成立，
故f（0）=1．
（2）证明：由于f（a+b）=f（a）•f（b），
可令a=b=

x

2

，则f（x）=f²（

x

2

）≥0，由当x＜0时，f（x）＞1，
则f（x）≠0，故有对任意的x∈R都有f（x）＞0；
（3）证明：设x₁＞x₂，则x₂-x₁＜0，
当x＜0时，f（x）＞1恒成立，则f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₁）+f（x₂-x₁）=f（x₂）＞f（x₁），
∴函数y=f（x）是R上的减函数；
（4）解：当f（4）=

1

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时，则有f（4）=f²（2），
即有f（2）=

1

4

，
不等式f（x-3）•f（5-x²）＜

1

4

，即为f（2+x-x²）＜f（2），
由于函数y=f（x）是R上的减函数，
则2+x-x²＜2，解得x＞1或x＜0．
即有解集为（1，+∞）∪（-∞，0）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性及判断，以及运用：解不等式，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．