Question

14．已知方程3^-x+1-|lgx|=0的两根为x₁，x₂，且x₁＞x₂，则x₁，$\frac{1}{{x}_{1}}$，$\frac{1}{{x}_{2}}$的大小关系为$\frac{1}{{x}_{1}}$＜x₁＜$\frac{1}{{x}_{2}}$．（用“＜”号连接）

Answer 1

分析 利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数f（x）=3^-x+1，g（x）=|lgx|的图象相交问题，利用数形结合进行比较即可．

解答 解：由3^-x+1-|lgx|=0得3^-x+1=|lgx|，
设f（x）=3^-x+1，g（x）=|lgx|，
作出两个函数的图象如图：
则有图象知0＜x₂＜1，x₁＞1，
则0＜$\frac{1}{{x}_{1}}$＜1，$\frac{1}{{x}_{2}}$＞1，
则3^-x₁+1=|lgx₁|=lgx₁，
3^-x₂+1=|lgx₂|=-lgx₂，
两式作差得3^-x₁-3^-x₂=lgx₁+lgx₂=lg（x₁x₂），
∵x₁＞x₂，∴-x₁＜-x₂，
则3^-x₁-3^-x₂=lgx₁+lgx₂=lg（x₁x₂）＜0，
即0＜x₁x₂＜1，
即1＜x₁＜$\frac{1}{{x}_{2}}$，
综上$\frac{1}{{x}_{1}}$＜x₁＜$\frac{1}{{x}_{2}}$，
故答案为：$\frac{1}{{x}_{1}}$＜x₁＜$\frac{1}{{x}_{2}}$

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数的图象的交点问题，利用指数函数和对数函数的性质，利用作差法进行比较是解决本题的关键．