Question

【题目】已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程，并证明：.

（2）当时，方程有两个不同的实数根，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）首先求出导函数，利用导数的几何意义以及点斜式方程可求切线方程；构造函数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最小值即证.

（2）为方程的两根，不妨设，由在上单调递增，根据零点存在性定理可知，存在，使，由，得，由（1）可得，，然后利用分析法即可证出.

解：（1）因为，

所以，， 即切线方程：

下证：，

令

在上单调递增，且

所以，在递减，在递增，

所以.

所以.

（2），为方程的两根，

不妨设，显然在上单调递增.

且所以存在，使

当，，递减；

，，递增.

由，得，又由（1）知

所以：，

要证：，需证：，即证：

，，即证：.

即：

令

，

在单调递增，且.

所以，，在单调递增.

所以

所以不等式成立.