Question

设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意知，动点P到定点F（0，1）的距离等于P到直线y=-1的距离，
曲线C是以原点为顶点，F（0，1）为焦点的抛物线
∵
∴p=2
∴曲线C方程是x²=4y

（Ⅱ）设圆的圆心为M（a，b），
∵圆M过A（0，2），
∴圆的方程为 （x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²
令y=0得：x²-2ax+4b-4=0
设圆与x轴的两交点分别为（x₁，0），（x₂，0）
不妨设x₁＞x₂，由求根公式得，

∴
又∵点M（a，b）在抛物线x²=4y上，
∴a²=4b，
∴，
即|EG|=4
∴当M运动时，弦长|EG|为定值4
分析：（Ⅰ）由题意知，P的轨迹满足抛物线的定义，故可求出抛物线的焦点，继而求出抛物线方程．
（Ⅱ）待定系数法设出圆的方程，设出圆与x轴的两个焦点E，G的坐标，再根据圆心在抛物线上，将圆心坐标代入抛物线，两个式子联立可求出x₁-x₂是否为定值．
点评：本题考查圆与抛物线相交关系的应用，考查了圆的定义，抛物线的定义，以及点的轨迹方程的求法，属于难题．