Question

已知函数f（x）=

-x2+ 1 2 x(x＜0) ex-1(x≥0)

，若函数y=f（x）-kx有3个零点，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：由f（0）=ln1=0，可得：x=0是函数y=f（x）-kx的一个零点；当x＜0时，由f（x）=kx，得-x²+

1

2

x=kx，解得x=

1

2

-k，由x=

1

2

-k＜0，可得：k＞

1

2

；当x＞0时，函数f（x）=e^x-1，由f'（x）∈（1，+∞），进而可得k＞1；综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：∵函数f（x）=

-x2+ 1 2 x(x＜0) ex-1(x≥0)

，
∴f（0）=ln1=0，
∴x=0是函数y=f（x）-kx的一个零点，
当x＜0时，由f（x）=kx，
得-x²+

1

2

x=kx，
即-x+

1

2

=k，解得x=

1

2

-k，
由x=

1

2

-k＜0，解得k＞

1

2

，
当x＞0时，函数f（x）=e^x-1，
f'（x）=e^x∈（1，+∞），
∴要使函数y=f（x）-kx在x＞0时有一个零点，
则k＞1，
∴k＞1，
即实数k的取值范围是（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数零点及零点的个数，二次函数的图象和性质，指数型函数的图象和性质，难度中档．