Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=6a₁，且对n∈N^*，点（n，a_n）恒在直线f（x）=2x+k上，其中k为常数．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，求T₂₀的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得k=0，即可求得结论；
（2）由（1）得得{a_n}是公差为2，首项为2的等差数列，

1

sn

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项相消法求和．

解答： 解：（1）∵S₃=6a₁，对n∈N^*，点（n，a_n）恒在直线f（x）=2x+k上，其中k为常数．
∴a₂+a₃=5a₁，即2×2+k+2×3+k=5（2+k），解得k=0，
∴a_n=2n．
（2）由（1）得{a_n}是公差为2，首项为2的等差数列，
s_n=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n，
∴

1

sn

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴T₂₀=

20

21

．

点评：本题主要考查数列与函数的关系的运用及等差数列的求和公式，考查裂项相消法求数列的和知识，属于较基础题．