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数列{an}的前n项和为Sn,S3=6a1,且对n∈N*,点(n,an)恒在直线f(x)=2x+k上,其中k为常数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Tn=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
,求T20的值.
考点:数列的求和
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)由题意得k=0,即可求得结论;
(2)由(1)得得{an}是公差为2,首项为2的等差数列,
1
sn
=
1
n2+n
=
1
n
-
1
n+1
,利用裂项相消法求和.
解答: 解:(1)∵S3=6a1,对n∈N*,点(n,an)恒在直线f(x)=2x+k上,其中k为常数.
∴a2+a3=5a1,即2×2+k+2×3+k=5(2+k),解得k=0,
∴an=2n.
(2)由(1)得{an}是公差为2,首项为2的等差数列,
sn=2n+
n(n-1)
2
×2=n2+n,
1
sn
=
1
n2+n
=
1
n
-
1
n+1

∴Tn=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
=
n
n+1

∴T20=
20
21
点评:本题主要考查数列与函数的关系的运用及等差数列的求和公式,考查裂项相消法求数列的和知识,属于较基础题.
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1
2
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1
2
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1
2
ax2+bx+
a
x
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1
2
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1
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1
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