Question

若数列{a_n}是正项数列，且

a1

+

a2

+…+

an

=n²+3n（n∈N^*），则

a1

2

+

a2

3

+…+

an

n+1

=

 

．

Answer 1

分析：根据题意先可求的a₁，进而根据题设中的数列递推式求得

a1

+

a2

+…+

an-1

=（n-1）²+3（n-1）与已知式相减即可求得数列{a_n}的通项公式，进而求得数列{

an

n+1

}的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案．

解答：解：令n=1，得

a1

=4，∴a₁=16．
当n≥2时，

a1

+

a2

+…+

an-1

=（n-1）²+3（n-1）．
与已知式相减，得

an

=（n²+3n）-（n-1）²-3（n-1）=2n+2，
∴a_n=4（n+1）²，n=1时，a₁适合a_n．
∴a_n=4（n+1）²，
∴

an

n+1

=4n+4，
∴

a1

2

+

a2

3

++

an

n+1

=

n(8+4n+4)

2

=2n²+6n．
故答案为2n²+6n

点评：本题主要考查了利用数列递推式求数列的前n项和．解题的关键是求得数列{a_n}的通项公式．