A. | $\frac{4}{3}$ | B. | $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{2}}{3}$ |
分析 设圆柱的上底面半径为r,球的半径R与上底面夹角为α,由题意推导出当且仅当α=$\frac{π}{4}$时,圆柱的侧面积最大,由此能求出圆柱的侧面积最大时,球的体积与该圆柱的体积之比.
解答 解:设圆柱的上底面半径为r,球的半径R与上底面夹角为α,
则r=Rcosα,圆柱的高为2Rsinα,圆柱的体积为:πr2•2Rsinα,
圆柱的侧面积为:2πR2sin2α,
当且仅当α=$\frac{π}{4}$时,sin2α=1,圆柱的侧面积最大,
此时,圆柱的体积为:$π{r}^{2}•2Rsin\frac{π}{4}$=π•R2$•co{s}^{2}\frac{π}{4}$$•2Rsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$πR3,
球的体积为:$\frac{4}{3}$πR3,
∴球的体积与该圆柱的体积之比是:$\frac{\frac{4}{3}π{R}^{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}π{R}^{3}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
故选:B.
点评 本题考查球的体积与该圆柱的体积之比的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意球、圆的简单性质的合理运用.
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