Question

已知函数f(x)=log3

x2+ax+b

x2+cx+1

，是否存在实数a、b、c，使f（x）同时满足下列三个条件：
（1）定义域为R的奇函数；
（2）在[1，+∞）上是增函数；
（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：由f（x）是R上的奇函数，可得f（0）=0，log₃b=0，可得b的值．再利用f（-x）=-f（x），a=-c． 这时f(x)=log3

x2-cx+1

x2+cx+1

在[1，+∞）上是增函数，且最大值是1．转化为u(x)=

x2-cx+1

x2+cx+1

在[1，+∞）上是增函数，且最大值是3．利用导数研究其单调性即可．

解答：解：由f（x）是R上的奇函数，可得f（0）=0，log₃b=0，∴b=1．
又∵f（-x）=-f（x），即log3

x2-ax+1

x2-cx+1

=-log3

x2+ax+1

x2+cx+1

，
∴

x2+1-ax

x2+1-cx

=

x2+1+cx

x2+1+ax

?(x2+1)2-a2x2=(x2+1)2-c2x2．
∴a²=c²⇒a=c或a=-c，但a=c时，f（x）=0，不合题意；故a=-c． 
这时f(x)=log3

x2-cx+1

x2+cx+1

在[1，+∞）上是增函数，且最大值是1．
设u(x)=

x2-cx+1

x2+cx+1

在[1，+∞）上是增函数，且最大值是3．
∵u′(x)=

(2x-c)(x2+cx+1)-(2x+c)(x2-cx+1)

(x2+cx+1)2

=

2c(x2-1)

(x2+cx+1)2

=

2c(x+1)(x-1)

(x2+cx+1)2

，
当x＞1时，x²-1＞0⇒u'（x）＞0，故c＞0；    
又当x＜-1时，u'（x）＞0；当x∈（-1，1）时，u'（x）＜0；
故c＞0，又当x＜-1时，u'（x）＞0，当x∈（-1，1）时，u'（x）＜0．
∴u（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函数，在（-1，1）上是减函数．       
又∵x＞1时，x²-cx+1＜x²+cx+1，u（x）＜1，
∴x=-1时，u（x）最大值为3． 
∴

1+c+1

1-c+1

=3，c=1，a=-1．
经验证：a=-1，b=1，c=1时，f（x）符合题设条件，
∴存在满足条件的a、b、c，即a=-1，b=1，c=1．

点评：本题考查了对数函数类型的函数奇偶性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于难题．