Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求A₁B₁与AC所成角的大小；
（2）若E是A₁C的中点，求证：BE⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析：（1）由于在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥A₁B₁，则A₁B₁与AC所成角的大小即为∠CAB=45°；
（2）根据DD₁⊥AC，AC⊥BD，BD∩DD₁=D，满足线面垂直的判定定理，则AC⊥平面BDD₁，进而得到AC⊥BD₁，同理AB₁⊥BD₁，
再根据线面垂直的判定定理可知BD₁⊥平面AB₁C．

解答：证明：（1）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥A₁B₁，
∴A₁B₁与AC所成角即为AB与AC所成角即∠CAB，
又∵∠CAB=45°，
∴A₁B₁与AC所成角为45°；
（2）连接BD₁，∵E是A₁C的中点，∴E也是BD₁的中点，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥AC，
又∵AC⊥BD，BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁，
又∵BD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥BD₁，同理AB₁⊥BD₁，
又∵AC∩AB₁=A，
∴BD₁⊥平面AB₁C．

点评：本题考查异面直线所成的角，以及平面与平面垂直的判定，同时考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．