Question

已知函数f(x)＝x³－x²＋，且存在x₀∈(0，)，使f(x₀)＝x₀．

(1)证明f(x)是R上的单调增函数；

(2)设x₁＝0，x_n+1＝f(x_n)，y₁＝，y_n+1＝f(y_n)，其中n＝1，2，…，证明x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n；

(3)证明．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵x＝3x2－2x＋＝3()2＋＞0， 　　∴f(x)是R上的单调增函数． 　　(2)∵0＜x0＜，即x1＜x0＜y1， 　　又f(x)是增函数，∴f(x1)＜f(x0)＜f(y1)， 　　即x2＜x0＜y2．又x2＝f(x1)＝f(0)＝＞0＝x1，y2＝f(y1)＝f()＝＝y1． 　　综上，x1＜x2＜x0＜y2＜y1 　　用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，上面已证明成立． 　　②假设当n＝k(k≥1)时，有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk． 　　当n＝k＋1时，由f(x)是单调递增函数，有f(xk)＜f(xk+1)＜f(x0)＜f(yk+1)＜f(yk)， 　　∴xk+1＜xk＋2＜x0＜yk+2＜yk+1． 　　由①和②知对一切n＝1，2，…都有xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn． 　　(3)－(yn＋xn)＋≤(yn＋xn)2－(yn＋xn)＋＝[(yn＋xn)－]2＋． 　　由(2)知0＜yn＋xn＜1， 　　∴． 　　∴．