Question

（04年北京卷理）（14分）

如图，在正三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC₁的交点为N，求：

（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

（II）PC和NC的长；

（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。

 

Answer 1

解析：（I）正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为。

（II）如图1，将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连接MP₁，则MP₁就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC₁到点M的最短路线。

设PC=x，则P₁C=x在Rt△MAP₁中，由匀股定理得(3+x)²+2²=29，

求得x=2.

∴PC=P₁C=2.

∵，

∴NC=

（III）如图2，连接PP₁，则PP₁就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，CH⊥PP₁.

∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）.

在Rt△PHC中，∵∠PCH=∠PCP₁=60°，

∴CH==1

在Rt△NCH中，tg∠NHC=，

故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctg.