Question

已知A（1，f'（1））是函数y=f（x）的导函数图象上的一点，点B为（x，ln（x+1）），向量

a

=(1，1)，令f(x)=

AB

•

a

．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）若x＞0，证明：f(x)＞

2x2+3x-10

2(x+2)

；
（3）若x∈[-1，1]时，不等式

1

2

x2≤f(x2)+m2-

9

2

m-3都恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出

AB

，再由向量数量积的坐标运算法则得f（x）的解析式，求导后可得f'（1），从而可得函数y=f（x）的表达式
（2）构造新函数g(x)=f(x)-

2x2+3x-10

2(x+2)

=ln(x+1)-

2x

x+2

，利用导数只需证明函数g（x）在（0，+∞）的下界大于零即可
（3）参变分离可得m2-

9

2

m-

11

2

≥-ln(x2+1)-

x2

2

x∈[-1，1]时恒成立，下面只需求函数h(x)=-ln(x2+1)-

x2

2

的最大值即可，利用导数可求这个值，再解不等式即可求实数m的取值范围

解答：解：（1）∵A（1，f'（1）），B（x，ln（x+1）），∴

AB

=(x-1，ln(x+1)-f′(1))
∴f（x）=ln（x+1）+x-f'（1）-1，∴f′(x)=

1

x+1

+1，∴f′(1)=

3

2

∴f(x)=ln(x+1)+x-

5

2

（2）设g(x)=f(x)-

2x2+3x-10

2(x+2)

=ln(x+1)-

2x

x+2

∴g′(x)=

1

x+1

-

4

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

＞0
在（0，+∞）上是增函数，又∵g（0）=0∴g（x）＞0，∴f(x)＞

2x2+3x-10

2(x+2)

（3）由

1

2

x2≤f(x2)+m2-

9

2

m-3得m2-

9

2

m-

11

2

≥-ln(x2+1)-

x2

2

设h(x)=-ln(x2+1)-

x2

2

，∴h′(x)=-

x(x2+3)

x2+1

∴当x∈[-1，0]时，h'（x）＞0，h（x）为递增；
当x∈[0，1]时，h'（x）＜0，h（x）为递减
∴h（x）_max=h（0）=0，∴m2-

9

2

m-

11

2

≥0，解得m≤-1或m≥

11

2

∴实数m的取值范围是m≤-1或m≥

11

2

点评：本题考查了导数的计算，导数证明不等式，导数求最值的方法，解题时要耐心细致，善于构造新函数解决函数关系问题，对恒成立问题，要多加总结