Question

【题目】△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 =（2sinB，﹣ ）， =（cos2B，2cos2 ﹣1）且 ∥ ．
（1）求锐角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ =（2sinB，﹣ ）， =（cos2B，2cos2 ﹣1）且 ∥ ，

∴2sinB（2cos2 ﹣1）=﹣ cos2B，

∴2sinBcosB=﹣ cos2B，即sin2B=﹣ cos2B，

∴tan2B=﹣ ，

又B为锐角，∴2B∈（0，π），

∴2B= ，

则B= ；

（2）解：当B= ，b=2，

由余弦定理cosB= 得：a2+c2﹣ac﹣4=0，

当B= ，b=2，

由余弦定理cosB= 得：a2+c2+ac﹣4=0，

又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），

∴S△ABC= acsinB= ac≤ （当且仅当a=c=2时等号成立），

则S△ABC的最大值为

【解析】（1）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量平行时满足的条件列出关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由B的度数求出sinB及cosB的值，进而由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．