Question

设α、β∈(0，

π

2

)，则α+β=

π

2

是sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立的（　　）

A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分的条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要的条件

Answer 1

分析：利用同角三角函数的故选先判断出若α+β=

π

2

成立能推出sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立；再利用二倍角公式及和化积公式判断出若sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立能推出α+β=

π

2

．利用充要条件的定义得到答案．

解答：解：若α+β=

π

2

成立，则有sin²α+sin²β=sin²α+sin2(

π

2

-α )=sin²α+cos²α=1；
sin²（α+β）=sin²

π

2

=1，所以sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立；
反之，若sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立，则有

1-cos2α

2

+

1-cos2β

2

=1-cos²（α+β）
即

1

2

(cos2α+cos2β)=cos²（α+β）
即cos（α+β）cos（α-β）=cos²（α+β）
所以cos（α+β）[cos（α+β）-cos（α-β）]=0，
所以cos（α+β）=0或[cos（α+β）=cos（α-β）]
所以α+β=

π

2

或α=0或β=0，
又因为α、β∈(0，

π

2

)，
所以α+β=

π

2

．
所以α+β=

π

2

是sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立的充要条件．
故选C．

点评：本题考查同角三角函数的故选、和、差化积公式及三角函数的二倍角公式；利用充要条件的有关定义判断一个条件是另一个条件的什么条件问题．