Question

函数f（x）=ax²+4x+1在区间[1，4]上的最小值为g（a），则（　　）

• A、g(a)=

  a+5，(a＞0或- 1 2 ≤a＜0) 5，(a=0) 1- 4 a ，(-2≤a＜- 1 2 ) 16a+17，(a≤-2)

• B、g(a)=

  a+5，(a＞0或- 1 2 ≤a＜0) 1- 4 a ，(-2≤a＜- 1 2 ) 16a+17，(a≤-2)

• C、g(a)=

  a+5，(a≥0或a≤-2) 1- 4 a ，(-2≤a＜- 1 2 ) 16a+17，(- 1 2 ≤a＜0)

• D、g(a)=

  a+5，(a≥- 4 5 ) 16a+17，(a＜- 4 5 )

Answer 1

分析：根据函数的解析式求出二次函数的对称轴，并求出区间的中点，然后分a大于0和a小于0两种情况考虑：a小于0时，当对称轴在区间中点的左侧时，得到函数的最小值g（a）为f（4），求出此时a的范围；当对称轴在区间中点的右侧时，得到函数的最小值g（a）为f（1），求出此时a的范围；当a大于0时，同理可得a的函数的最小值，并求出相应a的取值范围；联立即可得到g（a）分段函数的解析式．

解答：解：根据函数f（x）=ax²+4x+1，得到函数的对称轴为x=-

2

a

，且闭区间[1，4]的中点为

5

2

，
则a＜0时：①-

2

a

＜

5

2

即a＜-

4

5

时，得到函数的最小值g（a）=f（4）=16a+17；
②-

2

a

≥

5

2

即0＞a≥-

4

5

时，得到函数的最小值g（a）=f（1）=a+5．
a＞0时：①-

2

a

≤

5

2

即a≥-

4

5

，即a＞0，得到函数的最小值g（a）=f（1）=a+5；
②-

2

a

＞

5

2

即a＜-

4

5

，不合题意，舍去．
综上，得到g(a)=

a+5，(a≥- 4 5 ) 16a+17，(a＜- 4 5 )

．
故选D

点评：此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．