Question

【题目】定义在R上的函数y=f（x），满足f（1﹣x）=f（x），（x﹣ ）f′（x）＞0，若x1＜x2且x1+x2＞1，则有（ ）
A.f（x1）＜f（x2）
B.f（x1）＞f（x2）
C.f（x1）=f（x2）
D.不能确定

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵定义在R上的函数y=f（x），满足f（1﹣x）=f（x），∴函数f（x）关于直线x= 对称．
∵（x﹣ ）f′（x）＞0，∴当x 时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增；当x 时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减．
①若 ，∵函数f（x）在区间 上单调递增，∴f（x2）＞f（x1）．
②若 ，又x1+x2＞1，∴ ，∴f（x2）＞f（1﹣x1）=f（x1）．
综上可知：f（x2）＞f（x1）．
故选A．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的性质和利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．