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精英家教网用a,b,c,d四个不同字母组成一个含n+1(n∈N+)个字母的字符串,要求由a开始,相邻两个字母不同.例如n=1时,排出的字符串是ab,ac,ad;n=2时排出的字符串是aba,abc,abd,aca,acb,acd,ada,adb,adc,…,如图所示.记这含n+1个字母的所有字符串中,排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为an
(1)试用数学归纳法证明:an=
3n+3(-1)n
4
(n∈N*,n≥1)

(2)现从a,b,c,d四个字母组成的含n+1(n∈N*,n≥2)个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串,字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P,求证:
2
9
≤P≤
1
3
分析:(1)根据题意,易得n=1时,等式成立,进而假设设n=k时,等式正确,再分析n=k+1时的等式与n=k的等式之间的关系,验证n=k+1时等式仍成立;综合可得证明;
(2)根据题意,易得易知P=
1
4
3n+3(-1)n
3n
=
1
4
[1+
3(-1)n
3n
]
,分①当n为奇数(n≥3)与②当n为偶数(n≥2)两种情况,分别求得P,综合可得证明.
解答:(1)证明:
(ⅰ)当n=1时,因为a1=0,
3+3(-1)
4
=0
,所以等式正确.
(ⅱ)假设n=k时,等式正确,即ak=
3k+3(-1)k
4
(k∈N*,k≥1)

那么,n=k+1时,因为ak+1=3k-ak=3k-
3k+3(-1)k
4
=
4•3k-3k-3(-1)k
4
=
3k+1+3(-1)k+1
4

这说明n=k+1时等式仍正确.
据(ⅰ),(ⅱ)可知,an=
3n+3(-1)n
4
(n∈N*,n≥1)
正确;
(2)解:易知P=
1
4
3n+3(-1)n
3n
=
1
4
[1+
3(-1)n
3n
]

①当n为奇数(n≥3)时,P=
1
4
(1-
3
3n
)

因为3n≥27,所以P≥
1
4
(1-
3
27
)=
2
9
,又P=
1
4
(1-
3
3n
)<
1
4
,所以
2
9
≤P<
1
4

②当n为偶数(n≥2)时,P=
1
4
(1+
3
3n
)

因为3n≥9,所以P≤
1
4
(1+
3
9
)=
1
3
,又P=
1
4
(1+
3
3n
)>
1
4
,所以
1
4
<P≤
1
3

综上所述,
2
9
≤P≤
1
3
点评:本题考查数学归纳法的运用,注意数学归纳法的步骤,2个步骤必须完整、严密,第二步尤其重要,否则将会影响解题的严密性,甚至得到错误的结论.
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