分析 (1)求出解析式与导数,求出直线的斜率,利用导数值,求解即可.
(2)利用$h(x)=lnx-\frac{b(x-1)}{x+1}$求出导函数,通过h′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,得到$b<\frac{{{x^2}+2x+1}}{2x}$,利用基本不等式求解最值.
(3)不妨设m>n>0,利用分析法,结合函数的单调性证明即可.
解答 (1)解:$g(x)=lnx+\frac{a}{x}-1$,$g'(x)=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}$(2分)
g (x)在点(2,g (2))处的切线与直线x+2y-1=0平行,
∴$g'(2)=\frac{1}{2}-\frac{a}{4}=-\frac{1}{2}⇒a=4$(4分)
(2)证:由$h(x)=lnx-\frac{b(x-1)}{x+1}$得:$h'(x)=\frac{1}{x}-\frac{b(x+1)-b(x-1)}{{{{(x+1)}^2}}}=\frac{{{x^2}+2(1-b)x+1}}{{x{{(x+1)}^2}}}$
∵h(x) 在定义域上是增函数,∴h′(x)>0在(0,+∞)上恒成立
∴x2+2(1-b)x+1>0,即$b<\frac{{{x^2}+2x+1}}{2x}$恒成立(6分)
∵$\frac{{{x^2}+2x+1}}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+1≥2\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{1}{2x}}+1=2$
当且仅当$\frac{x}{2}=\frac{1}{2x},x=\frac{1}{2}$时,等号成立
∴b≤2,即b的取值范围是(-∞,2](8分)
(3)证:不妨设m>n>0,则$\frac{m}{n}>1$
要证$\frac{m-n}{m+n}<|\frac{lnm-lnn}{2}|$,即证$\frac{m-n}{m+n}<\frac{lnm-lnn}{2}$,即$\frac{{2(\frac{m}{n}-1)}}{{\frac{m}{n}+1}}<ln\frac{m}{n}$(10分)
设$h(x)=lnx-\frac{2(x-1)}{x+1}(x>1)$
由(2)知h (x)在(1,+∞)上递增,∴h (x)>h (1)=0
故$ln\frac{m}{n}-\frac{{2(\frac{m}{n}-1)}}{{\frac{m}{n}+1}}>0$,∴$\frac{m-n}{m+n}<|\frac{lnm-lnn}{2}|$成立(12分)
点评 本题考查函数的单调性与导数的综合应用,分析法证明不等式以及基本不等式的应用,考查分析问题解决问题的能力.
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性别 是否公平 | 男 | 女 |
公平 | 40 | 30 |
不公平 | 160 | 270 |
P(K2≥k) | 0.000 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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A. | 2 | B. | 4 | C. | 6 | D. | 8 |
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