Question

设S_n是首项为4，公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和，若

1

3

S₃和

1

4

S₄的等比中项为

1

5

S₅．求：
（1）{a_n}的通项公式a_n；
（2）使S_n＞0的最大n值．

Answer 1

分析：（1）由题设知首项为4，且

1

3

S₃和

1

4

S₄的等比中项为

1

5

S₅由此建立方程即可求出公差d，从而求出其通项公式；
（2）由（1）的结论，利用数列的通项公式求出前n和的最大值是S₂，根据等差数列前n项和公式的函数特性即可得出使S_n＞0的最大n值．

解答：解：（1）由条件得：

S3S4

12

=

S 2 5

25

，（4分）
∵S_n=a₁n+

1

2

n（n-1）d，
∴（12+5d）d=0，∵d≠0，得d=-

12

5

，
∴a_n=

-12n+32

5

．（5分）
（2）由a_n=

-12n+32

5

＞0，
得n＜

8

3

，∴n=2时，S_n取最大值，
∴使S_n＞0的最大n的值为4．（5分）

点评：本题考查等数列与等比数列的综合，考查由题设条件建立方程求公差，及根据通项公式求出数列的通项，由通项的求出数列前n项和的最大值以及由其函数特性判断出使S_n＞0的最大n值，求解本题的关键是掌握了等差数列前n项和的函数特性-对称性．