Question

（2010•眉山一模）已知集合A={x|x²-2ax+a²-1＜0}，B={x|

x+1

ax-2

}，命题P：2∈A，命题q：1∈B，若复合命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由题意可得，A={x|x²-2ax+a²-1＜0）={x|a-1＜x＜a+1}，由2∈A，可得a-1＜2＜a+1，则可得P所对应的 a的范围，由1∈B={x|

x+1

ax-2

＞1}得

2

a-2

＞1，解不等式可求q所对应的a的范围，由命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题可知p，q一个为真，一个为真，分类讨论：p为真，q为假；p为假，q为真可求

解答：解：A={x|x²-2ax+a²-1＜0）={x|a-1＜x＜a+1}
P：有2∈A，可得a-1＜2＜a+1，则1＜a＜3
即P：1＜a＜3（4分）
由1∈B={x|

x+1

ax-2

＞1}得

2

a-2

＞1
∴

2

a-2

-1＞0
∴

4-a

a-2

＞0
即q：2＜a＜4（8分）
∵命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题
∴p，q一个为真，一个为假
当p为真，q为假时，则

1＜a＜3 a≤2或a≥4

即1＜a≤2
当p为假，q为真时，则a

a≤1或a≥3 2＜a＜4

即3≤a＜4
综上可得，1＜a≤2或3≤a＜4（12分）

点评：本题主要考查了复合命题p且q，p或q命题真假的应用，解题的关键是熟练常见不等式的解法，准确解出命题p，q为真时的a的范围