Question

【题目】设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）＞4；
（2）若x∈（﹣∞，﹣ ），不等式a+1＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=|2x+3|+|x﹣1|，

∴f（x）= ，

f（x）＞4 或 或

x＜﹣2或0＜x≤1或x＞1，

综上，不等式f（x）＞4的解集是：（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；

（2）解：由（1）得：x＜﹣ 时，f（x）=﹣3x﹣2，

∵x＜﹣ 时，f（x）=﹣3x﹣2＞ ，

∴a+1≤ ，解得：a≤ ，

∴实数a的范围是（﹣∞， ]．

【解析】（1）求出函数f（x）的分段函数的形式，通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（2）x＜﹣ 时，f（x）=﹣3x﹣2＞ ，问题转化为a+1≤ ，求出a的范围即可．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．