Question

【题目】若关于x的不等式ex﹣（a+1）x﹣b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，则（a+1）b的最大值为（ ）
A.e+1
B.e+
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：不等式ex﹣（a+1）x﹣b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，令f（x）=ex﹣（a+1）x﹣b，则f（x）≥0在R上恒成立．只需要f（x）min≥0即可．
f′（x）=ex﹣（a+1）
令f′（x）=0，
解得x=ln（a+1），（a＞﹣1）
当x∈（﹣∞，ln（a+1））时，f′（x）＜0，则f（x）时单调递减．
当x∈（ln（a+1），+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）时单调递增．
故x=ln（a+1）时，f（x）取得最小值
即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b
那么：（a+1）2[1﹣ln（a+1）]≥b（a+1）
令（a+1）=t，（t＞0）
则现求g（t）=t2﹣t2lnt的最大值．
g′（t）=
令g′（t）=0，解得：t=
得极大值为g（ ）=
∴（a+1）b的最大值为 ．
故选C．