Question

为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．设a_n、b_n分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设S_n、T_n分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量．
（1）求S_n、T_n，并求n年里投入的所有新公交车的总数F_n；
（2）该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题意得出数列{a_n}是首项为128、公比为1+50%=

3

2

的等比数列； 数列{b_n}是首项为400、公差为a的等差数列，运用求和公式求解即可．
（2）运用题目条件判断因为256[(

3

2

)n-1]、400n+

n(n-1)

2

a(a＞0)是关于n的单调递增函数，得出满足a的最小值应该是F₇≥10000，求解即256[(

3

2

)7-1]+400×7+

7×6

2

a≥10000，解得a范围即可得出最小值．．

解答： （1）设a_n、b_n分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
依题意知，数列{a_n}是首项为128、公比为1+50%=

3

2

的等比数列；      
数列{b_n}是首项为400、公差为a的等差数列，
所以数列{a_n}的前n和Sn=

128[1-( 3 2 )n]

1- 3 2

=256[(

3

2

)n-1]，
数列{b_n}的前n项和Tn=400n+

n(n-1)

2

a，
所以经过n年，该市更换的公交车总数Fn=Sn+Tn=256[(

3

2

)n-1]+400n+

n(n-1)

2

a；        
            
（2）因为256[(

3

2

)n-1]、400n+

n(n-1)

2

a(a＞0)是关于n的单调递增函数，
因此F_n是关于n的单调递增函数，
所以满足a的最小值应该是F₇≥10000，
即256[(

3

2

)7-1]+400×7+

7×6

2

a≥10000，解得a≥

3082

21

，
又a∈N^*，所以a的最小值为147．

点评：本题综合考查了数列在实际问题中的应用，结合函数不等式求解，难度较大．