Question

【题目】已知f（x）= ，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x﹣2，ny）在函数y=gn（x）的图象上运动（n∈N*）．
（1）求y=gn（x）的表达式；
（2）若方程g1（x）=g2（x﹣2+a）有实根，求实数a的取值范围；
（3）设 ，函数F（x）=H1（x）+g1（x）（0＜a≤x≤b）的值域为 ，求实数a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 ，

得 ，

所以 ，（x＞﹣2）

（2）

解： ，

即 （x+2＞0）

，令 ，

所以 ，

当 时， ．

即实数a的取值范围是

（3）

解：因为 ，

所以 ．F（x）在（﹣2，+∞）上是减函数．

所以

即 ，

所以

【解析】（1）根据点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动可得y=log2x，点N（x﹣2，ny）函数y=gn（x）的图象上运动可得 gn（x﹣2）=ny故 gn（x﹣2）=nlog2x（x＞0）再用x+2代x即可求出y=gn（x）的表达式．（2）由（1）可得要使关于x的方程 g1（x）=g2（x﹣2+a）有实根，a∈R，可得：（x+2）2=x+a在x＞﹣2有实根即a=（x+2）2﹣x在x＞﹣2有实根即只需求出（x+2）2﹣x在x＞﹣2的范围即为a的范围．（3）由（1）可得F（x）= +log （x+2）（x＞﹣2）再根据） 和log （x+2）的单调性得出F（x）的单调性，从而可求出F（x）在[a．b]的值域再利用值域为 可列出等式求出a，b的值．