Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0），椭圆C的右焦点F的坐标为 ，短轴长为2．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若点P为直线x=4上的一个动点，A，B为椭圆的左、右顶点，直线AP，BP分别与椭圆C的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN恒过点E（1，0）．

Answer 1

【答案】解：（I）由题意可得c= ，2b=2，b=1，a2=b2+c2=4，
则a2=4，
∴椭圆C的方程为 ．
（II）由 可得椭圆的左、右顶点为A（﹣2，0），B（2，0）．
设P（4，m），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），则直线 ，直线
由 ，整理得： ，解得 ，
由 ，整理得：m2（x+2）2=4﹣x2 ， 解得 ， ，
， ，kME=kNE ，
M，N，E三点共线，即直线MN恒过点E（1，0）．
另法：
由 可得 ，解得 ，
由 可得m2（x﹣2）2=4﹣x2 ， 解得 ，
所以
所以M，N，E三点共线，即直线MN恒过点E（1，0）．
【解析】（I）由题意可知c= ，b=1，a2=b2+c2=4，即可求得椭圆方程；（II）由题意求得AP及BP的方程，分别代入椭圆方程，求得M和N点坐标，根据直线的斜率公式，可得kME=kNE ， 则M，N，E三点共线，即直线MN恒过点E（1，0）；