Question

9．如图，已知双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B；若双曲线C的焦距为4，△OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线C的中心），则双曲线C的方程为${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 由已知设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}=1$，由题意得a=OA=$\frac{1}{2}OF$=$\frac{1}{2}c$=1，由此能求出双曲线方程．

解答 解：∵双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B，双曲线C的焦距为4，
∴由已知设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}=1$，
∵△OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线C的中心），
∴a=OA=$\frac{1}{2}OF$=$\frac{1}{2}c$=1，
∴双曲线方程为：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．
故答案为：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．

点评 本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．